Ba bài toán khó của Việt Nam từng được đưa vào đề thi Olympic Toán quốc tế

Bài toán số 2 IMO năm 1977 của PGS Phan Đức Chính

PGS Phan Đức Chính là một Nhà giáo Nhân dân, Phó Giáo sư và Tiến sĩ Toán học nổi tiếng của Việt Nam. Ông là một trong những người thầy đầu tiên của lớp Chuyên Toán đầu tiên tại Việt Nam, thuộc trường Đại học Tổng hợp (nay là lớp chuyên Toán, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội).

Ông đã đào tạo nhiều học sinh giỏi và đạt huy chương trong các kỳ thi Toán quốc tế, từng là phó đoàn và trưởng đoàn Việt Nam tham dự IMO. Ông cũng viết và dịch nhiều giáo trình toán học kinh điển tại Việt Nam.

Bài toán của PGS Phan Đức Chính:

"In a finite sequence of real numbers, the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence".

Bản dịch:

Cho một dãy hữu hạn các số thực, tổng của 7 số hạng liên tiếp luôn là số âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kỳ luôn là số dương. Xác định số lượng số hạng tối đa của dãy số để thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài toán số 6 năm 1982 của PGS Văn Như Cương

Nhà giáo Văn Như Cương là một trong những nhân vật nổi bật của nền giáo dục Việt Nam. Năm 1954, ông theo học khoa Toán tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Sau đó, ông tiếp tục nghiên cứu ngành Toán học tại Viện Toán học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô cũ và bảo vệ thành công luận án phó tiến sĩ vào năm 1971. Khi về nước, ông trở thành giảng viên tại bộ môn Hình học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Đại học Sư phạm Vinh.

Năm 1982, IMO đã chọn bài toán của ông để đưa vào đề thi. Mặc dù có nhiều ý kiến phản đối về độ khó của bài toán nhưng Giáo sư R. Alfred - Viện trưởng Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Hungary và Chủ tịch IMO năm đó, kiên quyết giữ lại. Năm đó, chỉ có 20 thí sinh giải được bài toán này, trong đó có Lê Tự Quốc Thắng của đoàn Việt Nam, người đã đoạt huy chương vàng với số điểm tuyệt đối 42/42.

Bài toán như sau:

"Let S be a square with side length 100. Let L be a path within S which is composed of line segments A0A1, A1A2, A2A3..., A(n-1)An with A0 ≠ An.

Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2.

Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198".

Bản dịch:

Cho hình vuông S có độ dài cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2..., A(n-1)An với A0 ≠ An.

Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2.

Chứng minh rằng: Tồn tại hai điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1, và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.

Bài toán số 4 năm 1987 của TS Nguyễn Minh Đức

TS Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, từng giành huy chương Bạc tại IMO năm 1975.

Bài toán như sau:

"Prove that there is no function f from the set of non-negative integers into itself such that f(f(n)) = n + 1987 for every n".

Bản dịch:

Chứng minh rằng không tồn tại hàm f xác định trên tập số nguyên không âm, thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = n + 1987 với mọi n.