Theo trang tin khoa học uy tín Phys.org (Anh), Giáo sư Phạm Hữu Tiệp, hiện đang giảng dạy tại Đại học Rutgers-New Brunswick, đã giải quyết thành công hai bài toán quan trọng trong lĩnh vực toán học, gây tiếng vang trong cộng đồng nghiên cứu sau nhiều thập kỷ tìm kiếm giải pháp.
Bài nghiên cứu của ông được công bố trên tạp chí Annals of Mathematics vào tháng 9 vừa qua, đã giải quyết một bài toán tồn tại gần 70 năm do nhà toán học Richard Brauer đề xuất vào năm 1955. Phys.org nhấn mạnh rằng, việc giải quyết các bài toán này giúp tăng cường sự hiểu biết về tính đối xứng trong các cấu trúc tự nhiên và các quy trình ngẫu nhiên trong nhiều lĩnh vực như hóa học, vật lý, khoa học máy tính và kinh tế.
Giải mã bí ẩn toán học kéo dài 70 năm
Vấn đề do Brauer đề cập, gọi là "Giả thuyết cao độ 0", dự đoán rằng với một nhóm hữu hạn G và một số nguyên tố p, các tính chất số học của các biểu diễn không thể chia nhỏ hơn của G trong một phần khối p-block B sẽ bị ảnh hưởng bởi các nhóm khuyết tật (D).
Nói một cách đơn giản, đây là dự đoán trong "lý thuyết nhóm" của đại số, liên quan đến cách biểu diễn các yếu tố của nhóm dưới dạng các ma trận. Nhóm ở đây là tập hợp các đối tượng có thể kết hợp với nhau theo quy tắc nhất định, giống như việc xoay một hình vuông theo các góc khác nhau.
Những nhà toán học thường cố gắng tìm cách biểu diễn các nhóm này bằng các phương pháp dễ hiểu hơn, như sử dụng ma trận. Khi phân tích một nhóm thành các phần nhỏ hơn, mỗi phần có chỉ số gọi là cao độ, với giá trị không âm. Giả thuyết của Brauer cho rằng đối với một số nhóm nhất định, tất cả các phần nhỏ hơn này đều có cao độ bằng 0, tức là chúng đơn giản nhất có thể, nếu nhóm đó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Cho đến gần đây, giả thuyết này vẫn chỉ là một dự đoán chưa được chứng minh toàn diện, mặc dù nó đã được kiểm tra trong nhiều trường hợp khác nhau.
Giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết, những nhà toán học như Brauer thường có khả năng nhận thấy những khía cạnh mà người khác khó nhận ra. Ông giải thích rằng một giả thuyết là ý tưởng mà ta tin là đúng ở một mức độ nào đó, nhưng vẫn cần được chứng minh.
Trong nghiên cứu mới của mình, giáo sư Tiệp cùng các đồng nghiệp Gunter Malle từ Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern, Gabriel Navarro từ Đại học València và Amanda Schaeffer Fry, hiện đang làm việc tại Đại học Denver, đã hoàn toàn chứng minh được giả thuyết cao độ 0 của Brauer. Thành công này được coi là một bước đột phá quan trọng, tháo gỡ nút thắt trong lý thuyết nhóm kéo dài suốt 70 năm.
Người tiên phong trong lĩnh vực đại số tại Mỹ
Không chỉ là một nhà nghiên cứu hàng đầu trong lĩnh vực đại số, Giáo sư Phạm Hữu Tiệp còn góp phần duy trì vị thế của các trường đại học Mỹ trong cộng đồng toán học quốc tế. Gần đây, ông đã công bố một nghiên cứu quan trọng trên tạp chí Annals of Mathematics số tháng 7, giải quyết một bài toán phức tạp trong lý thuyết Deligne-Lusztig.
Bài toán này thuộc lý thuyết biểu diễn nhóm, một lĩnh vực trọng yếu của đại số. Đột phá của giáo sư Tiệp liên quan đến khái niệm "vết" (trace) của ma trận - một thành phần cốt lõi trong đại số tuyến tính. Vết của ma trận, tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính, có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học.
Giáo sư Tiệp tin rằng với lời giải cho lý thuyết Deligne-Lusztig, các nhà toán học có thể tiến thêm một bước trong việc giải quyết các giả thuyết khác do các nhà toán học nổi tiếng như John Thompson (Đại học Florida) và Alexander Lubotzky (Israel) đề xuất.
Stephen Miller, trưởng khoa Toán học tại Đại học Rutgers-New Brunswick nhận định rằng, nghiên cứu chất lượng cao của giáo sư Tiệp về nhóm hữu hạn đã củng cố vị thế hàng đầu của Đại học Rutgers trong lĩnh vực này.
Cả hai phát hiện của giáo sư Tiệp đều đóng góp to lớn vào lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - một nhánh quan trọng của đại số. Lý thuyết này không chỉ có giá trị trong toán học thuần túy mà còn ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết số, hình học đại số và các lĩnh vực khoa học vật lý, như vật lý hạt.
Lý thuyết biểu diễn còn giúp nghiên cứu tính đối xứng trong các phân tử, phát triển mã hóa và mã sửa lỗi. Bằng cách chuyển đổi các hình dạng trừu tượng trong hình học Euclid thành các ma trận số, các nhà toán học có thể dễ dàng nghiên cứu chúng hơn.
Giáo sư Tiệp cũng kỳ vọng rằng, việc phát triển thêm lý thuyết biểu diễn nhóm sẽ mở ra những cơ hội mới cho các nhà nghiên cứu giải quyết các bài toán toán học phức tạp hơn.
Sinh năm 1963 tại Hà Nội, giáo sư Phạm Hữu Tiệp từng là học sinh trường Chu Văn An và giành Huy chương Bạc tại Olympic Toán học quốc tế (IMO) năm 1979. Sau đó, ông theo học tại Khoa Toán - Cơ, Đại học Tổng hợp Lomonosov, Liên Xô cũ và bảo vệ thành công luận án tiến sĩ vào các năm 1989 và 1991.
Sau khi sang Mỹ vào năm 1996, ông đã làm việc tại nhiều trường đại học danh tiếng như Đại học Ohio, Đại học Florida và Đại học Arizona. Năm 2013, ông trở thành hội viên danh dự của Hội Toán học Hoa Kỳ và từ năm 2018, ông giảng dạy tại Đại học Rutgers. Ông còn hợp tác với Viện Nghiên cứu Toán học (MSRI) Berkeley và Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton.
Đến nay, giáo sư Phạm Hữu Tiệp đã xuất bản 5 cuốn sách chuyên khảo và hơn 200 bài báo khoa học trên các tạp chí hàng đầu. Điều thú vị là ông thường chỉ sử dụng bút và giấy trong quá trình nghiên cứu và thảo luận với đồng nghiệp qua nhiều hình thức, cả trực tiếp lẫn trực tuyến.
Theo giáo sư Phạm Hữu Tiệp, những khám phá lớn thường xuất hiện trong những khoảnh khắc bất ngờ, chẳng hạn như khi ông đi dạo hoặc làm vườn. Ông cười chia sẻ rằng, vợ ông luôn nhận ra khi ông đang mải suy nghĩ về toán học.
*Nguồn: Phys.org, Rutgers, Springer